เอกสารประชุมวิชาการระดับขาติมหาวิทยาลัยทักษิณ ครั้งที่ 28 2561

1120 การประชุมวิชาการระดับชาติมหาวิทยาลัยทักษิณ ครั้งที่ 28 ประจ�าปี 2561 บทนิยามǰ 3.2 ให ( ) n M x เปŨนพจน์ที่ n ของพหุนามคล้ายสมดุล-ลูคัส ซึ่งนิยามโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด ดังนี้ 1 1 ( ) 4 ( ) ( ), 1 n n n M x xM x M x n      (2) โดยที่ 0 1 ( ) 1, ( ) 2 M x M x x   พิจารณาสมการลักษณะเฉพาะต่อไปนี้โดยสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด จาก (1) สามารถเขียนใหม่ได้ ดังนี้ จากความสัมพันธ์เวียนเกิด 1 1 ( ) 4 ( ) ( ) n n n L x xL x L x     จะได้ว่า 1 2 ( ) 4 ( ) ( ) n n n L x xL x L x     1 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0 n n n L x xL x L x      จะได้สมการลักษณะเฉพาะ คือ 2 4 1 0 r xr    ดังนั้น จะได้รากของสมการลักษณะเฉพาะ คือ 2 2 2 4 1 , 2 4 1 x x x x D E       เพราะฉะนั้น 4 , x D E   2 2 4 1, x D E    1, DE  1 D E   และ 1 E D   และในทานองเดียวกันจาก สมการ (2) จะได้สมการลักษณะเฉพาะ คือ 2 4 1 0 r xr    โดยที่รากของสมการลักษณะเฉพาะ คือ 2 2 2 4 1, 2 4 1 x x x x D E       ทùþãĊบท 3 . 1 สาหรับจานวนเตĘม n โดยที่ 0 n  จะได้ ( ) n n n L x D E D E    (3) โดยที่ 2 2 4 1 x x D    และ 2 2 4 1 x x E    พิสูÝนŤ จากผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียนเกิด ( ) n n n L x A B D E   (4) จากสมการ (4) จะได้ 0 D E   และ 1 A B D E   ดังนั้น จะได้ว่า 1 A D E   และ 1 B D E    นั่นคือ ( ) n n n L x D E D E    โดยที่ 2 2 2 4 1, 2 4 1 x x x x D E       ในทานองเดียวกันจะได้สูตรไบเนทของลาดับของพหุนามคล้ายสมดุล-ลูคัส ดังทฤษãีบท 3.2 นี้ ทùþãĊบทǰ 3.2 สาหรับจานวนเตĘม n โดยที่ 0 n  จะได้ ( ) 2 n n n M x D E   (5) โดยที่ 2 2 4 1 x x D    และ 2 2 4 1 x x E    3.2 สมบัติของพหุนามคล้ายสมดุลและพหุนามคล้ายสมดุล - ลูคัส จากความสัมพันธ์เวียนเกิด ( 1 ) และ ( 2 ) และใช้ลักษณะของลาดับความสัมพันธ์เวียนเกิดพิจารณาสมการ ลักษณะเฉพาะตามลาดับ และจากสูตรไบเนท ( 3 และ 5 เราจะได้สมบัติที่น่าสนใจของลาดับเหล่านี้ ดังต่อไปนี้ ทùþãĊบทǰ 3.3 สาหรับจานวนเตĘม n โดยที่ 0 n  จะได้ 1 ( ) 2 ( ) ( ) n n n M x xL x L x    พิสูÝนŤǰ สาหรับแต่ละจานวนเตĘมบวก n ใด ė จะได้