เอกสารประชุมวิชาการระดับขาติมหาวิทยาลัยทักษิณ ครั้งที่ 28 2561

1124 การประชุมวิชาการระดับชาติมหาวิทยาลัยทักษิณ ครั้งที่ 28 ประจ�าปี 2561 2 2 1 2(4 1) ( ) n x L x    ดังนั้น 2 2 1 2 2 2 4(4 1) ( ) ( ) ( ) n n n x L x M x M x      3.3 สมบัติบางðøะÖาøทĊęอยูĔนøูðñลøüมทัęüĕðของพหุนามคล้ายสมดุลและพหุนามคล้ายสมดุล - ลูคัส ทùþãĊบทǰ 3.14 สาหรับ n เปŨนจานวนเตĘม จะได้ 1) 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 4 n r n n r L x L x L x x   ª º    ¬ ¼ ¦ 2) 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 1 2 n r n r M x L x     ¦ พิสูÝนŤ 1) เนื่องจาก 2 2 4 6 8 10 2( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) n r n r L x L x L x L x L x L x L x         ¦ จากทฤษãีบท 3 . 7 จะได้ 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 1 4 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 n r r L x L x L x L x L x L x L x x  ª       ¬ ¦ 2 2 2 2 2 2 5 3 6 4 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) n n L x L x L x L x L x L x   º        ¼ 2 2 2 2 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 n n L x L x L x L x x  ª º      ¬ ¼ 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 4 n n L x L x x  ª º    ¬ ¼ ดังนั้น 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 4 n r n n r L x L x L x x   ª º    ¬ ¼ ¦ และ 2) สามารถแสดงได้ในทานองเดียวกัน โดยให้บทแทรก 3.11 ทùþãĊบท 3.15 สาหรับ n เปŨนจานวนเตĘม จะได้ 1) 2 2 1 2 2 2 1 1 ( ) 8 1 2(4 1) n r n r L M x x x        ¦ 2) 2 1 2 1 1 1 ( ) ( ) 4 2 n r n r M x L x x      ¦ พิสูÝนŤ เนื่องจาก 2 1 3 5 7 9 11 2( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) n r n r L x L x L x L x L x L x L x           ¦ จากทฤษãีบท 3.12 จะได้ 2 1 4 2 6 4 8 6 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2(4 1) n r r L x M x M x M x M x M x M x x   ª       ¬  ¦ 10 8 2 2 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) n n M x M x M x M x  º      ¼ > @ 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2(4 1) n M x M x x      ดังนั้น 2 2 1 2 2 2 1 1 ( ) 8 1 2(4 1) n r n r L M x x x        ¦ และ 2) สามารถแสดงได้ในทานองเดียวกัน โดยให้บทแทรก 3.11 ให้แทน 2 2 1 n n  