เอกสารประชุมวิชาการระดับขาติมหาวิทยาลัยทักษิณ ครั้งที่ 28 2561

1182 การประชุมวิชาการระดับชาติมหาวิทยาลัยทักษิณ ครั้งที่ 28 ประจ�าปี 2561 บทîา จากการศึกษาสมบัติบางประการของกึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้ายและ โครงสร้างของกึ่งกรุปเรกูลาร์ ในบทความของ P. Sreenivasulu Reddy [1], [2] พบว่าถ้า S มีสมบัติเอกลักษณ์ของสมาชิก x,y,z S คือ xyz=xz แล้วทาให้ได้ ว่ามีสมบัติที่สมมูลกันบนกึ่งกรุป S หลายประการ ได้แก่ กึ่งนอร์มัลซ้าย, กึ่งเรกูลาร์ซ้าย, กึ่งนอร์มัลขวา, กึ่งเรกูลาร์ขวา, เรกูลาร์, นอร์มัล, เสมือนนอร์มัลซ้าย และเสมือนนอร์มัลขวา นอกจากนี้ได้ศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับ โครงสร้างของกึ่งกรุปที่มีสมบัตินิจพล (idempotent) จากบทความของ Naoki Kimura [3], [4] และสมบัติการตัดออกของกึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้าย ขวา จากบทความของ P. Sreenivasulu Reddy [5] จึงมีแนวคิดที่จะกาหนดสมบัติแก่กึ่งกรุปเพื่อหาโครงสร้างของกึ่งกรุปที่มีเอกลักษณ์ xyz=xz ซึ่งถ้าให้ S เป็น กึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้ายที่มีสมบัติซิงกูลาร์ซ้าย จะทาให้พิสูจน์ได้ว่า ทุกสมาชิก x,y,z S มีสมบัติ xyz=xz และ 2 ( ) xyz xyz จากเอกลักษณ์ที่ได้นี้จะนาไปใชัในการพิสูจน์สมบัติที่สมมูลกันบน S ดังต่อไปนี้ ให้ S เป็นกึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้ายที่มีสมบัติซิงกูลาร์ซ้ายแล้วจะได้ว่า S มีสมบัติกึ่งนอร์มัลซ้าย ก็ต่อเมื่อ S มีสมบัติกึ่งเรกกูลาร์ซ้าย S มีสมบัติเสมือนนอร์มัลซ้าย ก็ต่อเมื่อ S มีสมบัติเสมือนนอร์มัลขวา S มีสมบัติกึ่งนอร์มัลซ้าย ก็ต่อเมื่อ S มีสมบัติกึ่งนอร์มัลขวา S มีสมบัติกึ่งเรกูลาร์ซ้าย ก็ต่อเมื่อ S มีสมบัตินอร์มัล S มีสมบัติเรกูลาร์ ก็ต่อเมื่อ S มีสมบัตินอร์มัล S มีสมบัติเรกูลาร์ ก็ต่อเมื่อ S มีสมบัติกึ่งนอร์มัลซ้าย S มีสมบัติกึ่งเรกูลาร์ซ้าย ก็ต่อเมื่อ S มีสมบัติกึ่งเรกูลาร์ขวา นอกจากนี้ยังได้ว่ากึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้ายที่มีสมบัติซิงกูลาร์ซ้าย และมีสมบัติเรกูลาร์ขวา จะมีสมบัติการตัดออก บทîิยามĒลąทùþãีบทóČĚîåาî ในหัวข้อนี้จะเริ่มด้วยการเสนอความรู้พื้นåานของกึ่งกรุป รวมทั้งนิยามและทùษãีบทต่าง ė ที่จะใช้ศึกษาเกี่ยวกับ กึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้ายที่มีสมบัติซิงกูลาร์ซ้าย บทîิยาม 1.1 ให้ S เป็นเซตใด ė ที่ไม่ใช่เซตว่าง และ เป็นการดาเนินการบน S จะเรียก , S ว่า กึ่งกรุป ( seNigrPuQ ) ก็ต่อเมื่อ (1) S มีสมบัติปŗด ( DlPseE ) : ทุกสมาชิก x,y S จะได้ว่า x y S และ (2) S มีสมบัติเปลี่ยนหมู่ ( assPDiatiWe ) : ทุกสมาชิก x,y,z S จะได้ว่า ( ) ( ) x y z = x y z ×้อตกลง ต่อไปนี้จะเขียน S แทน , S และ เขียน xy แทน x y บทîิยาม กึ่งกรุป S เรียกว่า มีสมบัติ ซิงกูลาร์ซ้าย ( leftǰsingular ) ก็ต่อเมื่อ สาหรับทุกสมาชิก x,y,z S มี เอกลักษณ์ xy=x และเรียกว่ามีสมบัติ ซิงกูลาร์×üา ( rigItǰsingular ) ก็ต่อเมื่อ xy=y