เอกสารประชุมวิชาการระดับขาติมหาวิทยาลัยทักษิณ ครั้งที่ 28 2561

1184 การประชุมวิชาการระดับชาติมหาวิทยาลัยทักษิณ ครั้งที่ 28 ประจ�าปี 2561 ñลการüิÝัย ในหัวข้อนี้จะเริ่มด้วยการให้เงื่อนไขที่ทาให้ กึ่งกรุป S มีสมบัติเอกลักษณ์ xyz=xz ซึ่งพบว่า ถ้ากึ่งกรุป S มี สมบัติเรกูลาร์ซ้ายและซิงกูลาร์ซ้ายแล้วจะได้เอกลักษณ์ตามต้องการ ดังแสดงต่อไปนี้ บทตัĚง ถ้า S เป็นกึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้ายที่มีสมบัติซิงกูลาร์ซ้าย แล้วจะได้ว่า zxz=z สาหรับทุกสมาชิก x,z S การóิสูÝî์ ให้ S เป็นกึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้ายและมีสมบัติซิงกูลาร์ซ้าย สาหรับทุกสมาชิก x,z S โดยสมบัติเรกูลาร์ ซ้ายจะได้ zxz=zx และโดยสมบัติซิงกูลาร์ซ้ายจะได้ zx=z นั่นคือ zxz=z ทùþãีบท ถ้า S เป็นกึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้ายที่มีสมบัติซิงกูลาร์ซ้าย แล้วจะได้ว่า xyz=xz และ 2 ( ) xyz =xyz สาหรับทุกสมาชิก x,y,z S การóิสูÝî์ ให้ x,y,z S โดยสมบัติเรกูลาร์ซ้ายจะได้ ( ) ( ) xyz= xy z= xyx z และโดยบทตั้ง 2.1 จะได้ xyx=x ดังนั้น xyz=xz ต่อไปพิจารณา 2 ( ) ( ) xyz =xyzxyz= xyzx yz เนื่องจาก yz S โดยบทตั้ง 2.1 จะได้ xyzx=x ดังนั้น 2 ( ) xyz =xyz ต่อไปเป็นการใช้เอกลักษณ์ที่ได้จากบทตั้ง 2.1 และทùษãีบท 2.2 เพื่อพิสูจน์สมบัติที่สมมูลกันบนกึ่งกรุป S มี รายละเอียดการพิสูจน์ดังนี้ ทùþãีบท ให้ S เป็นกึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้ายและมีสมบัติซิงกูลาร์ซ้าย จะได้ว่า S มีสมบัติกึ่งนอร์มัลซ้าย ก็ต่อเมื่อ S มีสมบัติกึ่งเรกูลาร์ซ้าย การóิสูÝî์ สมมุติให้ S มีสมบัติกึ่งนอร์มัลซ้าย และให้ x,y,z S จะได้ xyzx=xzyzx โดยสมบัติเอกลักษณ์ จากทùษãีบท 2.2 จะได้ xz=xyz และ zy=zxy ดังนั้น xyzx=xzyzx=xyzyzx=xyzxyzx และโดยสมบัติเรกู ลาร์ซ้ายของ S จะได้ xy=xyx เพราะÞะนั้น xyzx=xyxzxyzx ในทางกลับ สมมุติให้ S มีสมบัติกึ่งเรกูลาร์ซ้ายซ้าย และให้ x,y,z S จะได้ xyzx=xyxzxyzx โดยสมบัติ เอกลักษณ์จากบทตั้ง 2.1 จะได้ xyx=x ดังนั้น xyzx=xyxzxyzx=xzxyzx และโดยสมบัติเรกูลาร์ซ้ายของ S จะได้ xzx=xz เพราะÞะนั้น xyzx=xzyzx ทùþãีบท ให้ S เป็นกึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้ายและมีสมบัติซิงกูลาร์ซ้าย จะได้ว่า S มีสมบัติเสมือนนอร์มัลซ้าย ก็ ต่อเมื่อ S มีสมบัติเสมือนนอร์มัลขวา การóิสูÝî์ สมมุติให้ S มีสมบัติเสมือนนอร์มัลซ้าย และให้ x,y,z S จะได้ xyz=xzyz โดยสมบัติ เอกลักษณ์จากทùษãีบท 2.2 จะได้ yz=yxz และ xzy=xy ดังนั้น xyz=xzyz=xzyxz=xyxz ในทางกลับ สมมุติให้ S มีสมบัติเสมือนนอร์มัลขวา และให้ x,y,z S จะได้ xyz=xyxz โดยสมบัติ เอกลักษณ์จากทùษãีบท 2.2 จะได้ xy=xzy และ yxz=yz ดังนั้น xyz=xyxz=xzyxz=xzyz