เอกสารประชุมวิชาการระดับขาติมหาวิทยาลัยทักษิณ ครั้งที่ 28 2561

1186 การประชุมวิชาการระดับชาติมหาวิทยาลัยทักษิณ ครั้งที่ 28 ประจ�าปี 2561 บทกลับ สมมุติให้ S มีสมบัติกึ่งเรกูลาร์ขวา และให้ x,y,z S จะได้ xyzx=xyzxyxzx โดยสมบัติ เอกลักษณ์จากทùษãีบท 2.2 ได้แก่ yzx=yx, yxz=yz, xy=xzy และ zy=zxy ทาให้ได้ว่า xyzxyxzx=xyxyzx=xyxzyzx=xyxzxyzx ดังนั้น xyzx=xyxzxyzx นอกจากนี้ ถ้าเราพิจารณาสมบัติการตัดออก และสมบัติการสลับที่สาหรับ S ทาให้ได้สมบัติทั้งสองสัมพันธ์กับ กึ่งกรุป S ดังต่อไปนี้ ทùþãีบท ให้ S เป็นกึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้าย และมีสมบัติซิงกูลาร์ซ้าย จะได้ว่า ถ้า S มีสมบัติเรกูลาร์ขวา แล้ว S มี สมบัติการตัดออก การóิสูÝî์ สมมุติให้ S เป็นกึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้ายที่มีสมบัติซิงกูลาร์ซ้าย และมีสมบัติเรกูลาร์ขวา ให้ x,y,z S สมมุติให้ xy=xz โดยสมบัติเรกูลาร์ซ้ายจะได้ xyx=xzx และโดยสมบัติเรกูลาร์ขวาจะได้ yx=zx โดยสมบัติเรกูลาร์ซ้ายอีกครั้ง จะได้ yxy=zxz ดังนั้น โดยสมบัติเอกลักษณ์จากบทตั้ง 2.1 จะได้ y=z นั่นคือ S มี สมบัติการตัดออกทางซ้าย สาหรับสมบัติการตัดออกทางขวาของ S พิสูจน์ได้โดยไม่ต้องใช้สมบัติเรกูลาร์ขวาดังนี้ ให้ yx=zx โดยสมบัติเรกูลาร์ซ้ายจะได้ yxy=zxz และโดยสมบัติเอกลักษณ์จากบทตั้ง 2.1 จะได้ y=z ทùþãีบท ถ้า S เป็นกึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้าย และเรกูลาร์ขวาแล้ว S มีสมบัติสลับที่ การóิสูÝî์ สมมุติให้ S เป็นกึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้ายที่มีสมบัติเรกูลาร์ขวา และ x,y,z S ดังนั้นโดยสมบัติเรกูลาร์ ซ้ายของ S จะได้ xy=xyx และ โดยสมบัติเรกูลาร์ขวาของ S จะได้ xyx=yx นั่นคือ xy=yx บทĒทรก ถ้า S เป็นกึ่งกรุปจากัดที่มีสมบัติเรกูลาร์ซ้าย เรกูลาร์ขวา และซิงกูลาร์ซ้ายแล้ว S เป็นอาบีเลียนกรุป การóิสูÝî์ เนื่องจาก S เป็นกึ่งกรุปจากัดที่มีสมบัติเรกูลาร์ซ้าย เรกูลาร์ขวา และซิงกูลาร์ซ้าย โดยทùษãีบท 2.9 S มีสมบัติการตัดออก โดยทùษãีบท 1.12 จึงได้ว่า S เป็นกรุป และโดยทùษãีบท 2.10 S มีสมบัติสลับที่ ดังนั้น S เป็นอา บีเลียนกรุป การอõิปรายñลĒลąสรุปñลการüิÝัย เมื่อให้ S เป็นกึ่งกรุปเรกูลาร์ซ้ายที่มีสมบัติซิงกูลาร์ซ้ายแล้วทาให้ได้เอกลักษณ์ zxz=z และ xyz=xz ซึ่งจาก เอกลักษณ์ทั้งสองทาให้สามารถพิสูจน์สมบัติที่สมมูลกันบน S ดังต่อไปนี้ S มีสมบัติกึ่งนอร์มัลซ้าย ก็ต่อเมื่อ S มีสมบัติกึ่งเรกกูลาร์ซ้าย S มีสมบัติเสมือนนอร์มัลซ้าย ก็ต่อเมื่อ S มีสมบัติเสมือนนอร์มัลขวา S มีสมบัติกึ่งเรกูลาร์ซ้าย ก็ต่อเมื่อ S มีสมบัตินอร์มัล S มีสมบัติเรกูลาร์ ก็ต่อเมื่อ S มีสมบัตินอร์มัล S มีสมบัติเรกูลาร์ ก็ต่อเมื่อ S มีสมบัติกึ่งนอร์มัลซ้าย