1272
/HW
E
EH D UHDO %DQDFK VSDFH ZLWK GXDO
E
∗
DQG
U
=
{
x
∈
E
:
x
= 1
}
EH WKH XQLW VSKHUH RI
E
$ %DQDFK VSDFH
E
LV VDLG WR EH
VWULFWO\ FRQYH[
LI
x
+
y
2
<
1
IRU DOO
x, y
∈
E
ZLWK
x
=
y
= 1
DQG
x
=
y E
LV VDLG WR EH
VPRRWK
LI WKH OLPLW OLP
t
→
0
x
+
ty
−
x
t
H[LVWV IRU HDFK
x, y
∈
U.
7KH QRUP RI
E
LV
VDLG WR EH
)UĨFKHW GLIIHUHQWLDEOH
LI IRU HDFK
x
∈
U
WKH OLPLW LV DWWDLQHG XQLIRUPO\ IRU
y
∈
U E
LV VDLG WR
EH
XQLIRUPO\ VPRRWK
LI WKH OLPLW H[LVWV XQLIRUPO\ LQ
x, y
∈
U
7KH
PRGXOXV RI FRQYH[LW\
RI
E
LV WKH IXQFWLRQ
δ
: [0
,
2]
→
[0
,
1]
GHILQHG E\
δ
(
ε
) =
LQI
1
−
x
+
y
2
:
x, y
∈
E, x
=
y
= 1
, x
−
y
≥
ε .
$ %DQDFK VSDFH
E
LV
XQLIRUPO\ FRQYH[
LI
δ
(
ε
)
>
0
IRU DOO
ε
∈
(0
,
2]
/HW
C
EH D QRQHPSW\ FORVHG DQG FRQYH[ VXEVHW RI D UHDO %DQDFK VSDFH
E
/HW
A
:
C
→
E
∗
EH D
PDSSLQJ 7KHQ $ LV VDLG WR EH
PRQRWRQH
LI
x
−
y, Ax
−
Ay
≥
0
,
∀
x, y
∈
C
;
α
LQYHUVH VWURQJO\ PRQRWRQH
LI WKHUH H[LVWV D FRQVWDQW
α >
0
VXFK WKDW
x
−
y, Ax
−
Ay
≥
α Ax
−
Ay
2
,
∀
x, y
∈
C.
&OHDUO\ WKH FODVV RI PRQRWRQH PDSSLQJV LQFOXGH WKH FODVV RI
α
LQYHUVH VWURQJO\ PRQRWRQH PDSSLQJV 7KH FODVV
RI LQYHUVH VWURQJO\ PRQRWRQH KDYH EHHQ VWXGLHG E\ PDQ\ DXWKRUV WR DSSUR[LPDWH D FRPPRQ IL[HG SRLQW VHH
/HW
A
:
C
→
E
∗
EH DQ RSHUDWRU 7KH
YDULDWLRQDO LQHTXDOLW\ SUREOHP
IRU DQ RSHUDWRU
A
LV DV IROORZV
ILQG
ˆ
z
∈
C
VXFK WKDW
y
−
ˆ
z, A
ˆ
z
≥
0
,
/HW
E
EH D %DQDFK VSDFH ZLWK WKH GXDO VSDFH
E
∗
:H GHQRWH E\
J
WKH
QRUPDOL]HG GXDOLW\ PDSSLQJ
IURP
E
WR
2
E
∗
GHILQHG E\
J
(
x
) =
{
f
∗
∈
E
∗
:
x, f
∗
=
x
2
, f
∗
=
x
}
.
7KH IXQFWLRQDO
φ
:
E
×
E
→
R
GHILQHG E\
φ
(
x, y
) =
x
2
−
2
x, Jy
+
y
2
,
IRU DOO
x, y
∈
E
ZKHUH
J
LV WKH QRUPDOL]HG GXDOLW\ PDSSLQJ ,W LV REYLRXV IURP WKH GHILQLWLRQ RI IXQFWLRQ
φ
WKDW
(
y
−
x
)
2
≤
φ
(
y, x
)
≤
(
y
+
x
)
2
,
∀
x, y
∈
E,
DQG
φ
(
x, y
) =
φ
(
z, y
) +
φ
(
x, z
) + 2
z
−
x, Jy
−
jz ,
∀
x, y, z
∈
E.
5HPDUN
,I
E
LV D UHIOH[LYH VWULFWO\ FRQYH[ DQG VPRRWK %DQDFK VSDFH WKHQ IRU DQ\
x, y
∈
E φ
(
x, y
) = 0
7KLV LPSOLHV WKDW
x, Jy
=
x
2
=
Jy
2
.
)URP WKH GHILQLWLRQ RI
J,
RQH KDV
Jx
=
Jy
7KHUHIRUH ZH
,QWURGXFWLRQ DQG 3UHOLPLQDULHV
> @ IRU PRUH GHWDLOV
IRU DOO
y
∈
C
7KH VHW RI VROXWLRQ RI
LV GHQRWH E\
V I
(
A, C
)
KDYH
x
=
y
VHH > @ IRU PRUH GHWDLOV
LI DQG RQO\ LI
x
=
y
,W LV VXIILFLHQW WR VKRZ WKDW LI
φ
(
x, y
) = 0
WKHQ
x
=
y
)URP ZH KDYH
x
=
y
