เอกสารการประชุมวิชาการและนำเสนอผลงานวิจัย ครั้งที่ 21 / 2554 (Oral) - page 685

มอดูลการคูณแบบเฟธฟุล
On Faithful Multiplication Modules
ครรชิต แซ่ โฮ่1 และสารภี ไชยรัตน์2*
Kanchit Saeho1 and Sarapee Chairat 2*
บทคัดย่ อ
จุดประสงค์ ของบทความนีÊ เพืÉอศึ กษามอดูลการคู ณแบบเฟธฟุล RM บนริ งสลับทีÉ R พร้ อมเอกลักษณ์ และหา
สมบัติเพิÉมเติมและลักษณะเฉพาะของมอดูลย่ อยของมอดูล RM และสมบัติอืÉนทีÉเกีÉ ยวข้อง ผลลัพธ์หลักทีÉได้คือการสมมูล
กันบนมอดูลการคู ณแบบเฟธฟุล RM ของมอดู ลเซมิซิ มเปิ ล ริ งเซมิซิมเปิ ล และริ งอั นตรสัณฐาน นอกจากนีÊ ยังพบเงืÉอนไข
บางประการทีÉทํ าให้มอดูลซี เอส ริงซี เอส และริ งอั นตรสัณฐานสมมูลกันบนมอดูลการคู ณ
คําสํ าคัญ: มอดูลการคู ณ มอดูลเฟธฟุล มอดูลเซมิซิ มเปิ ล มอดูลซีเอส
Abstract
The aims of this paper are to study faithful multiplication modules RM over a commutative ring R with
identity and to find out further properties and characterizations of submodules of R M and some related basic results.
The main results are equivalent semisimple module, semisimple ring and their endomorphism ring on faithful
multiplication modules. Moreover, some conditions were found for CS-module, CS-ring and their endomorphism ring
to be equivalent on faithful multiplication modules.
Keywords: Multiplication modules, Faithful modules, Semisimple modules, CS-modules.
Introduction
Let R be a commutative ring with identity and M a left unitary R-modules and let S = EndR(M) be the ring of
endomorphism of M. If N is a submodule of M then residual of N by M, denoted (N : M), is the set {r R | rM  N }.
In case N = 0, the ideal (0 : M) is called the annihilator of M, denoted by Ann(M). An R-module M is called faithful if
Ann(M) = 0. An R-module M is said to be a multiplication R-module if each submodule of M has the form IM, for
some ideal I of R, [2]. It is clear that every cyclic module is a multiplication module. Note that let N be a submodule of
a multiplication R-module M. Then there exists an ideal I of R such that N = IM. Thus I  (N : M) and hence N = IM 
(N : M)M  N, so that N = (N : M)M. It follows that an R-module M is a multiplication module if and only if N = (N : M)M
for every submodule N of M. An ideal A of R which is a multiplication module is called a multiplication ideal, [10].
1 นิ สิตปริญญาโท สาขาคณิ ตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลั ยทักษิณพั ทลุง93110
2 อ.ดร., สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยทักษิณพั ทลุง93110
Corresponding author: e-mail:c_sarapee@hotmail.comTel. 074-693995 ext. 2510