full2012.pdf - page 457

šœÎµ
สมมติให้ X และ Y เป็ นตัวแปรสุ่ มที่เป็ นอิ สระกัน โดยที่ X มี การแจกแจงแบบเอ็กซ์ โพเนนเชียลซึ่ งมี
พารามิเตอร์ T และ Y มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชี ยลซึ่ งมี พารามิเตอร์เป็ น 1/ T โดย X และ Y มีฟั งก์ชันหนาแน่ น
ความน่ าจะเป็ นร่ วมดังนี้
( , ; ) exp{ ( / )}; 0, 0, 0 f x y x y x y T T T T ! ! !
ให้
1 1
/ , /
n n
i i
i i
X X n Y Y n¦ ¦ และ / T Y X , U X Y เมื่อ T เป็นตั วประมาณจากวิธีความควร
จะเป็ นสู งสุด (Maximun Likelihood Estimator) ของพารามิเตอร์ T และ U เป็ นตั วสถิติช่วย (Ancillary statistic) ซึ่ ง T
และ U เป็ นตัวสถิติร่ วมที่มีความเพียงพอแต่ไม่มีความสมบูรณ์ (Joint sufficient but not complete statistic) ซึ่ งฟังก์ชัน
หนาแน่นความน่าจะเป็ นในรูปแบบนี้ เรี ยกว่า ปั ญหาของไนล์ (Problem of the Nile) ถูกสร้ างขึ้ นโดย Fisher (1959) จาก
การศึกษาพบว่าเนื่ องจาก T เป็ นตัวประมาณที่เอนเอี ยง มีผู้วิจัยหลายท่านได้ศึ กษาวิธีลดความเอนเอี ยงของตัวประมาณ
ดังนี้
Quenouille (1956) ได้กล่าวถึ งวิธีการลดความเอนเอี ยงของตัวประมาณของพารามิเตอร์ T ด้วยวิธี ของแจ็คไนฟ์
ซึ่ งจะสามารถหาตัวประมาณตัวใหม่ โดยกําหนด ให้ X1,…,Xn เป็ นตัวอย่างสุ่มขนาด n จากประชากรที่มีฟั งก์ชันหนาแน่ น
ความน่าจะเป็ น ( ; ) f x T ซึ่ งมี T เป็ นตัวประมาณของพารามิเตอร์ T และให้ i T เป็ นตัวประมาณที่ถูกตัดค่าของตัวแปร
สุ่ม X ที่ i ออก โดยที่ตัวประมาณแจ็คไนฟ์ J T คือ
1
ˆ ( 1) /
n
J i
i
n n n T T T ¦
Schucany, Gray และ Owen (1971) ได้เสนอรูปแบบทั่วไปในการประมาณค่าพารามิเตอร์ ด้วยวิธี ของแจ็คไนฟ์
โดยสมมติว่ามีตัวประมาณ 1 ˆ
T และ 2 ˆT เป็นตัวประมาณที่ มีความเอนเอียงของพารามิเตอร์ Tโดยสามารถหาตัวประมาณ
Tซึ่ งเป็ นตัวประมาณที่ ไม่มีความเอนเอี ยงของพารามิเตอร์ T ได้ดังนี้
1 2
1 2
1 2
ˆ ˆ
( ) ( )
1 1
( ) ( )
f n f n
f n f n
T T
T
ซึ่ ง 1( ) f n และ 2 ( ) f n หาได้จาก
1 1 ˆ( ) ( ) ( ) E f n b T T T , 2 2 ˆ( ) ( ) ( ) E f n b T T T
เพื่อให้ได้ตัวประมาณที่ดีขึ้ นกว่าเดิม ผู ้ วิจัยจึงสนใจที่จะนําเสนอตัวประมาณจากวิธีความควรจะเป็ นสู งสุ ด
และวิธีแจ็ คไนฟ์ มาหาตัวประมาณใหม่ด้วยวิธีของ Schucany, Gray และ Owen แล้วทําการเปรี ยบเทียบตัวประมาณจาก
457
การประชุมวิชาการระดับชาติ มหาวิ ทยาลัยทักษิณ ครั้งที่ 22 ประจำปี 2555